Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為4.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）設直線l過點（2,0）且與橢圓C相交于不同的兩點A、B，直線與x軸交于點D,E是直線上異于D的任意一點，當時，直線BE是否恒過x軸上的定點？若過，求出定點坐標，若不過，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）直線BE恒過x軸上的定點，詳見解析

【解析】

（1）利用離心率，短軸長4，列關于的方程組，解方程即可求得橢圓C的標準方程。

（2）當斜率不存在時，可得直線BE過定點，當斜率存在時，，設出的坐標，求出直線BE的方程，求出與x軸的交點表達式，即證,

根據的特點，將直線l和橢圓聯立，得到，代入，可得式子成立，即證明直線BE恒過x軸上的定點。

解：（1）由題意得。解得，

所以橢圓C的標準方程為

（2）直線BE恒過x軸上的定點

證明如下：

因為.所以，

因為直線l過點

①當直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為，

不妨設則

此時，直線BE的方程為，

所以直線BE過定點；

②直線l的斜率存在且不為零時，設直線l的方程為，，所以.

直線，令，得

即，又

所以

即證

即證

聯立,消x得，

因為點在C內，所以直線l與C恒有兩個交點，

由韋達定理得，

代入（*）中得

所以直線BE過定點，

綜上所述，直線BE恒過x軸上的定點.