Question

已知函數f(x)=

ax3+x2，x＜1 blnx  ，x≥1

，函數f（x）在x=

2

3

處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若b≤2，t＜0，函數f（x）在[t，e]（e為自然對數的底數）上的最大值為2，求實數t的取值范圍；
（3）對任意給定的正實數b，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

分析：（1）由題意，x＜1時，f（x）=ax³+x²，求導數，利用函數f（x）在x=

2

3

處取得極值，可得f′（

2

3

）=0，從而可求a的值；
（2）由題意，x=e時，blne=b≤2，利用b≤2，t＜0，函數f（x）在[t，e]（e為自然對數的底數）上的最大值為2，可得x=t時，函數取得最大值2，由此可求實數t的取值范圍；
（3）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

解答：解：（1）由題意，x＜1時，f（x）=ax³+x²，則f′（x）=3ax²+2x，
∵函數f（x）在x=

2

3

處取得極值，∴f′（

2

3

）=

4

3

a+

4

3

=0，解得a=-1；
（2）由題意，x=e時，blne=b≤2
∵b≤2，t＜0，函數f（x）在[t，e]（e為自然對數的底數）上的最大值為2，
∴x=t時，函數取得最大值2，即-t³+t²=2，
∴t=-1；
（3）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．
不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1
∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，∴

OP

•

OQ

=0即-t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²代入（*）式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴-t²+1=0，而此方程無解，因此t＞1．此時f（t）=blnt，
代入（*）式得：-t²+（blnt）（t³+t²）=0即

1

b

=（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx+

1

x

+1＞0
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．
∴對于b＞0，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．
因此，對任意給定的正實數b，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

點評：本題考查導數的性質和應用，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．