Question

已知a＞0，b∈R，函數f(x)＝4ax³－2bx－a＋b．

(Ⅰ)證明：當0≤x≤1時，

(ⅰ)函數f(x)的最大值為|2a－b|﹢a；

(ⅱ)f(x)＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ)若－1≤f(x)≤1對x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)． 　　解析：本題主要考察不等式，導數，單調性，線性規劃等知識點及綜合運用能力． 　　(Ⅰ)(ⅰ)． 　　當b≤0時，＞0在0≤x≤1上恒成立， 　　此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a； 　　當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷， 　　此時的最大值為： 　　＝|2a－b|﹢a； 　　綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a； 　　(ⅱ)要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝－≤|2a－b|﹢a． 　　亦即證在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a， 　　∵，∴令． 　　當b≤0時，＜0在0≤x≤1上恒成立， 　　此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a； 　　當b＜0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷， 　　 　　 　　≤|2a－b|﹢a； 　　綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a． 　　即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a， 　　且函數在0≤x≤1上的最小值比－(|2a－b|﹢a)要大． 　　∵－1≤≤1對x[0，1]恒成立， 　　∴|2a－b|﹢a≤1． 　　取b為縱軸，a為橫軸． 　　則可行域為：和，目標函數為z＝a＋b． 　　作圖如下： 　　由圖易得：當目標函數為z＝a＋b過P(1，2)時，有． 　　∴所求a＋b的取值范圍為：．