Question

已知a＞0，b∈R，函數。
（Ⅰ）證明：當0≤x≤1時，
（i）函數的最大值為|2a-b|﹢a；
（ii）＋|2a-b|﹢a≥0；
（Ⅱ）若-1≤≤1對x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ） （�。� 當b≤0時，＞0在0≤x≤1上恒成立， 此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a； 當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷， 此時的最大值為： ＝|2a－b|﹢a； 綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a； （ⅱ） 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a． 亦即證在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a， ∵， ∴令 當b≤0時，＜0在0≤x≤1上恒成立， 此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a； 當b＜0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷， ≤|2a－b|﹢a； 綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a． 即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a， 且函數在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a－b|﹢a）要大 ∵﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立， ∴|2a－b|﹢a≤1 取b為縱軸，a為橫軸．則可行域為：和，目標函數為z＝a＋b． 作圖如下：由圖易得：當目標函數為z＝a＋b過P（1，2）時，有 ∴所求a＋b的取值范圍為：。