Question

（1）已知實數x，y滿足

2x+1

+

2y+3

=4，則x+y的最小值為多少．
（2）在極坐標系中（ρ，θ）（0＜θ≤2π），曲線ρ（cosθ+sinθ）=2與ρ（sinθ-cosθ）=2的交點的極坐標為．

Answer 1

分析：（1）令

2x+1

=m≥0，

2y+3

=n≥0，則有 m+n=4，表示一條線段AB，要使x+y，只要m²+n²最小．而m²+n²的最小值等于原點到線段AB的距離的平方，由此求得m²+n²的最小值，即可求得x+y 的最小值．
（2）把兩個曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，解方程組求得交點的直角坐標，再化為極坐標．

解答：解：（1）令

2x+1

=m≥0，

2y+3

=n≥0，則有 m+n=4，表示一條線段AB，
A（4，0）、B（0，4），且 x+y=

m2+n2

2

-2．
要使x+y，只要m²+n²最小． 而m²+n²表示原點與線段AB上的點之間距離的平方，
故m²+n²的最小值等于原點到線段AB的距離，等于 (

4×4

4 2

)2=8，故x+y 的最小值為

8

2

-2=2．
（2）曲線ρ（cosθ+sinθ）=2 即 x+y-2=0，與ρ（sinθ-cosθ）=2 即 y-x-2=0，即 x-y+2=0．
解方程組

x+y-2=0 x-y+2=0

可得

x=0 y=2

，故交點的坐標為（0，2），
故它的極坐標為 （2，

π

2

）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，把參數方程化為直角坐標方程，求點的極坐標，屬于基礎題．