Question

曲線y=1+

4-x2

與直線l：y=k（x-2）+4有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．(

  5

  12

  ，+∞)
• B．(

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]
• C．(0，

  5

  12

  )
• D．(

  5

  12

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：要求的實數k的取值范圍即為直線l斜率的取值范圍，主要求出斜率的取值范圍，方法為：曲線y=1+

4-x2

表示以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，在坐標系中畫出相應的圖形，直線l與半圓有不同的交點，故抓住兩個關鍵點：當直線l與半圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值；當直線l過B點時，由A和B的坐標求出此時直線l的斜率，根據兩種情況求出的斜率得出k的取值范圍．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

由題意可得：直線l過A（2，4），B（-2，1），
又曲線y=1+

4-x2

圖象為以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，
當直線l與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d=r，即

|3-2k|

k2+1

=2，
解得：k=

5

12

；
當直線l過B點時，直線l的斜率為

4-1

2-(-2)

=

3

4

，
則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數k的范圍為(

5

12

，

3

4

]．
故答案為：(

5

12

，

3

4

]

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：恒過定點的直線方程，點到直線的距離公式，以及直線斜率的求法，利用了數形結合的思想，其中抓住兩個關鍵點是解本題的關鍵．