Question

已知f(x)=

ax2+bx+1

x+c

(a＞0)是奇函數，且當x＞0時，f（x）有最小值2

2

，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：利用奇函數的性質：f（x）+f（-x）=0可求得b，c，再利用基本不等式可求得f（x）的最小值，令其等于2

2

可求a．

解答：解：∵f（x）是奇函數，∴f（x）+f（-x）=0，
即

ax2+bx+1

x+c

+

a(-x)2-bx+1

-x+c

=0，
∴

ax2+bx+1

x+c

-

ax2-bx+1

x-c

=0，化簡可得（b-ac）x²=c，
則b-ac=0，且c=0，
∴b=c=0，
則f（x）=

ax2+1

x

=ax+

1

x

≥2

a

，當且僅當ax=

1

x

時取等號，
又x＞0時，f（x）有最小值2

2

，
∴2

a

=2

2

，解得a=2，
∴f(x)=

2x2+1

x

．

點評：本題考查函數奇偶性的性質、基本不等式求函數的最值，考查學生解決問題的能力．