Question

已知f(x)=

ax2+x

2x2+b

為奇函數（a，b是常數），且函數f（x）的圖象過點(1，

1

3

)
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數數列{a_n}，a1=

1

2

，

a

2 n+1

=2anf(an)(n∈N*)，求數列{a_n²}的通項公式；
（3）已知b&n=

a 2 n a 2 n+1

2n-2

，設S_n為b_n的前n項和，證明：

1

6

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數是一個奇函數，根據奇函數的定義，得到a的值，根據函數過一個定點，把點的坐標代入，利用待定系數法得到結果．
（2）根據條件寫出數列的遞推式，下面整理數列，通過配湊整理出數列{

1

a 2 n

-2}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列，寫出數列通項，變形整理出結果．
（3）根據條件寫出新數列的通項，觀察新數列分母的結構，整理出可以應用裂項的方法來解題，用裂項做出數列的前n項和，利用分析法寫出要證的不等式．

解答：解：（1）f(x)=

ax2+x

2x2+b

為奇函數
∴f(-x)=

a(-x)2-x

2(-x)2+b

=

ax2-x

2x2+b

=-

ax2+x

2x2+b

=-f(x)，
∴a=0
又f（x）過點(1，

1

3

)，
∴f(1)=

x

2x2+b

=

1

2+b

=

1

3

，∴b=1
∴f(x)=

x

2x2+1

（2）∵

a

2 n+1

=2anf(n)=2an•

an

2 a 2 n +1

=

2 a 2 n

2 a 2 n +1

∴

1

a 2 n +1

=1+

1

2 a 2 n

∴

1

a 2 n +1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)
∴數列{

1

a 2 n

-2}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列              
∴

1

a 2 n

-2=2(

1

2

)n-1∴

a

2 n

=

1

2( 1 2 )n-1+2

（3）由（2）知：bn=

a 2 n a 2 n+1

2n-2

=

2n-1

(2n-1+1)(2n+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

∴Sn=

1

1+1

-

1

2+1

+

1

2+1

-

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

∵2n≥2?2n+1≥3?0＜

1

2n+1

≤

1

3

則

1

6

≤

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

∴

1

6

≤Sn＜

1

2

點評：本題考查數列和函數的綜合，本題解題的關鍵是構造正確的新函數，判斷出所給的數列是一個特殊的數列，本題是一個可以作為壓軸題目出現的題目．