Question

求下列各極限：
（1）

lim

x→2

（

4

x2-4

-

1

x-2

)；
（2）

lim

x→∞

（

(x+a)(x+b)

-x）；
（3）

lim

x→0

x

|x|

；
（4）

lim

x→ π 2

cosx

cos x 2 -sin x 2

.

Answer 1

分析：（1）把

lim

x→2

（

4

x2-4

-

1

x-2

)轉化成

lim

x→2

4-(x+2)

x2-4

=

lim

x→2

-1

x+2

，再進行計算．
（2）把

lim

x→∞

（

(x+a)(x+b)

-x）轉化為

lim

x→∞

(a+b)x+ab

x2+(a+b)x+ab +x

，再進行計算．
（3）因為

lim

x→0+

x

|x|

≠

lim

x→0-

x

|x|

，所以

lim

x→0

x

|x|

不存在．
（4）把

lim

x→ π 2

cosx

cos x 2 -sin x 2

.轉化為

lim

x→ π 2

cos

x

2

+sin

x

2

）再進行計算．

解答：解：（1）原式=

lim

x→2

4-(x+2)

x2-4

=

lim

x→2

-1

x+2

=-

1

4

．
（2）原式=

lim

x→∞

(a+b)x+ab

x2+(a+b)x+ab +x

=a+b．
（3）因為

lim

x→0+

x

|x|

=1，而=

lim

x→0-

x

|x|

=-1，

lim

x→0+

x

|x|

≠

lim

x→0-

x

|x|

，所以

lim

x→0

x

|x|

不存在．
（4）原式=

lim

x→ π 2

cos2 x 2 -sin2 x 2

cos x 2 -sin x 2

=

lim

x→ π 2

（cos

x

2

+sin

x

2

）=

2

．

點評：若f（x）在x₀處連續，則應有

lim

x→x0

f（x）=f（x₀），故求f（x）在連續點x₀處的極限時，只需求f（x₀）即可；若f（x）在x₀處不連續，可通過變形，消去x-x₀因式，轉化成可直接求f（x₀）的式子．