Question

設函數f(x)=x⁴+ax³+2x²+b(x∈R),其中a,b∈R.

(1)當a=時,討論函數f(x)的單調性;

(2)若函數f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍;

(3)若對于任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,求b的取值范圍.

Answer 1

答案：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、函數的最大值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力.

解:(1)f′(x)=4x³+3ax²+4x=x(4x²+3ax+4).

當a=時,

f′(x)=x(4x²-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).

令f′(x)=0,解得x₁=0,x₂=,x₃=2.

當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,)		(,2)	2	(2,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f(x)在(0,),(2,+∞)內是增函數,在(-∞,0),(,2)內是減函數.

(2)f′(x)=x(4x²+3ax+4),顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根.

為使f(x)僅在x=0處有極值,必須4x²+3ax+4≥0恒成立,即有Δ=9a²-64≤0.

解此不等式,得≤a≤.

這時,f(0)=b是唯一極值.

因此滿足條件的a的取值范圍是［,］.

(3)由條件a∈［-2,2］可知Δ=9a²-64＜0,

從而4x²+3ax+4＞0恒成立.

當x＜0時,f′(x)＜0;當x＞0時,f′(x)＞0.

因此函數f(x)在［-1,1］上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者.

為使對任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,當且僅當即在a∈［-2,2］上恒成立.

所以b≤-4,因此滿足條件的b的取值范圍是(-∞,-4］.