Question

（本小題滿分12分）直線與橢圓交于，兩點，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經過點，為坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；

（Ⅲ）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）為定值.

 

【解析】(I)由e和橢圓上的一個點可以建立關于a,b,c兩個方程，再結合可解出a,b的值，進而得到橢圓標準方程，同時要注意焦點位置.

（II）先求出直線l的方程，然后與橢圓方程聯立消y后，得到關于x的一元二次方程，再根據0,借助韋達定理建立關于k的方程求出k的值.

(III)先討論斜率不存在時，面積是否為定值，然后再求當斜率存在時，面積是否為定值，再求面積時要利用弦長公式及點到直線的距離公式.

解：（Ⅰ）∵          …………………2分

∴   

∴橢圓的方程為      ………………3分

  （Ⅱ）依題意，設的方程為

          由

            顯然

                ………………5分

         由已知得：

       

 

               解得            ……………………6分

      （Ⅲ）①當直線斜率不存在時，即，

由已知，得

            又在橢圓上，

所以

          ,三角形的面積為定值．………7分

           ②當直線斜率存在時：設的方程為

          

        必須 即

        得到，        ………………9分

         ∵，∴

        代入整理得：              …………………10分

          …………11分

          

         所以三角形的面積為定值．              …………………12分