Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，短軸的兩個端點分別為A，B，且滿足：，且橢圓經過點

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點M的動直線(與X軸不重合)與橢圓C相交于P，Q兩點，在X軸上是否存在一定點T，無論直線如何轉動，點T始終在以PQ為直徑的圓上？若有，求點T的坐標，若無，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，0）

【解析】

（1）由可知，，根據橢圓過點，即可求出，由此得到橢圓的標準方程；

（2）分別討論直線斜率存在與不存在兩種情況，當斜率不存在時，聯立直線與橢圓方程，解出、兩點坐標，利用向量垂直的條件可得點，當斜率存在時，設出直線的點斜式，與橢圓聯立方程，得到關于的一元二次方程，寫出根與系數的關系，代入中進行化簡，即可得到答案。

(1)由可知，，又橢圓經過點，則，由于在橢圓中 ，所以， 解得=2，所求橢圓方程為

(2) 設， ，則 ，

①當直線斜率不存在時，則直線的方程為：，

聯立方程 ，解得: 或，故點，；

則 ，

由于點始終在以為直徑的圓上，則，解得：或，故點或；

②當直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程中消去得,

由于點始終在以為直徑的圓上，

，

解得： ，故點為

綜上所述;當時滿足條件。所以定點為。