Question

已知函數f(x)=為R上的奇函數.

(1)求f(x)及f^-1(x)的解析式;

(2)若當x∈(-1,1)時,不等式f^-1(x)≥log₂恒成立,試求m的取值范圍.

Answer 1

思路解析：首先根據奇函數的性質求出待定系數a的值,從而求出函數f(x)的解析式.進而求出其反函數的解析式.對于第(2)題,根據已知條件把時間轉化為關于m的不等式即可解決.

解：(1)∵f(x)= 是奇函數,

∴f(x)+f(-x)=0,

即+=+=a-1=0,

∴a=1.

∴f(x)=.

設y=,則(2^x+1)y=2^x-1,

∴2^x=,x=log₂.

令＞0得-1＜y＜1,

∴f(x)的反函數為y=f^-1(x)=log₂,x∈(-1,1).

(2)∵當x∈(-1,1)時,f^-1(x)≥log₂恒成立,

即log₂≥log₂,

∴≥.

∵x∈(-1,1),∴1+x＞0,1-x＞0,m＞0,

∴m≥1-x,當x∈(-1,1)時,1-x的取值集合為(0,2),

∴m≥2.