Question

已知函數f(x)=|1-

1

x

|．
（1）是否存在a＜b且a，b∈[1，+∞），使得當函數f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[

1

8

a，

1

8

b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由；
（2）若存在實數a，b（a＜b），使得函數f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數的單調性，確定函數的最值，即可求得結論；
（2）分類討論，確定函數的單調性，結合函數的值域，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）若存在，則由于當a，b∈[1，+∞）時，f(x)=1-

1

x

在[1，+∞）單調遞增，則f(a)=

1

8

a，f(b)=

1

8

b，可知a，b是方程x²-8x+8=0的實根，求得a=4-2

2

，b=4+2

2

滿足條件…..（6分）
（2）若存在，則易知m＞0，a＞0
當a，b∈（0，1）時，由于f(x)=

1

x

-1在（0，1）單調遞減，則可得f（a）=mb，f（b）=ma，則得

1

a

-1=mb，

1

b

-1=ma，相減得

b-a

ab

=m(b-a)，
由于a≠b，則m=

1

ab

，所以

1

a

-1=mb=

1

a

，∴-1=0，這是不可能的，
故此時不存在實數a，b滿足條件；…（8分）
當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0則0∈[a，b]，矛盾．
故此時也不存在實數a，b滿足條件；…（10分）
當a，b∈[1，+∞）時，由于f(x)=1-

1

x

在[1，+∞）單調遞增，則f（a）=ma，f（b）=mb，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個大于1的實根，
∴由△＞0，

1± 1-4m

2m

＞1可得m的取值范圍是(0，

1

4

)．…（14分）

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．