Question

【題目】在直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為．

（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程，并指出它是何種曲線；

（Ⅱ）設與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,圓；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將參數方程化為普通方程，可知曲線是以為圓心，為半徑的圓；根據直角坐標與極坐標互化原則可得到曲線的極坐標方程；（Ⅱ）設，，聯立與圓方程可得韋達定理的形式；則，整理可得，代入替換可求得；根據垂直關系可知所求面積為，根據三角函數知識可求得結果.

（Ⅰ）由（為參數）消去參數得：

將曲線的方程化成極坐標方程得：

曲線是以為圓心，為半徑的圓

（Ⅱ）設，

由與圓聯立方程得：

，

三點共線

則

用代替可得：