Question

（本題滿分14分）

已知函數，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數.

設，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）證明：對任意的正整數n，都有>a；

（3）記（n=1,2,……），求數列{b_n}的前n項和S_n。

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】(1)解方程x²+x-1=0得x=

由?知?=,β=     

(2) f’ (x)=2x+1

    =     -                =            

 

下面我們用數學歸納法來證明該結論成立

①當n=1時，a₁=1<=?成立，

②假設n=k(k≥1, k∈N*)時，結論也成立，即a_k<成立，

 

③那么當n=k+1時，

==-+<-+=+=

                                                

這就是說，當n=k+1時，結論也成立，故對于任意的正整數n，都有a_n<

(3)

 

=             =                       =

 

 

=()²

由題意知a_n>,那么有a_n>β，于是對上式兩邊取對數得

ln=ln()²=2 ln()

即數列{b_n}為首項為b₁= ln()=2ln(       )，公比為2的等比數列。

故其前n項和

 

S_n=2ln(       )     =2ln(       )(2ⁿ -1).