Question

1．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E是CC₁的中點，O是下底面正方形ABCD的中心．
（1）求二面角C₁-A₁B₁-O的大小（結果用反三角函數值表示）
（2）求異面直線A₁B₁與EO所成角的大小（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C₁-A₁B₁-O的大小．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，4，0），$\overrightarrow{EO}$=（2，-2，-4），利用向量法能求出異面直線A₁B₁與EO所成角的大小．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則O（2，2，0），A₁（4，0，8），B₁（4，4，8），
$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（2，-2，8），$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（2，2，8），
設平面A₁B₁O的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{A}_{1}}=2x-2y+8z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=2x+2y+8z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
平面A₁B₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角C₁-A₁B₁-O的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
∴二面角C₁-A₁B₁-O的大小為arccos$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
（2）E（0，4，4），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，4，0），$\overrightarrow{EO}$=（2，-2，-4），
設異面直線A₁B₁與EO所成角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{EO}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}|•|\overrightarrow{EO}|}$=$\frac{8}{4\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴異面直線A₁B₁與EO所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查二面角的大小的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．