Question

下列命題：
①中，若,則；
②若A，B，C為的三個內(nèi)角，則的最小值為
③已知，則數(shù)列中的最小項為；
④若函數(shù)，且，則；
⑤函數(shù)的最小值為. 
其中所有正確命題的序號是        

Answer 1

②③

解析試題分析：①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理
得0＜sinA＜sinB，又cos2A=1-2sin²A，cos2B=1-2sin²B，
所以cos2A＞cos2B，①錯誤．
②因?yàn)锳+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π
所以=1，
原式等價于
= ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即α=2β時取等號．所以②正確．
③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a5/1/1wosy2.png" style="vertical-align:middle;" />=2+，因?yàn)?≤≤3，
所以設(shè)t=，則1≤t≤3．因?yàn)楹瘮?shù)y=t+-2在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞減，所以在[1，3]上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)t=3時，函數(shù)有最小值3+-2=，則對應(yīng)數(shù)列{a_n}中的最小項為，所以③正確．
④令g（x）=，則函數(shù)g（x）的幾何意義為曲線上點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的大小．由題意可知，分別看作函數(shù)f（x）=log₂（x+1）圖象上的點(diǎn)（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知，，所以④錯誤．
⑤因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cc/d/1kngv3.png" style="vertical-align:middle;" />，問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)P（x，0）到A（1，2），B（2，3）距離之和的最小值。原式等價為|PA|+|PB|的最小值，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D（1，-2）．
則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為|PD|=．
所以，⑤錯誤．故答案為：②③．
考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，均值定理的應(yīng)用，對號函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
點(diǎn)評：難題，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。靈活的對問題實(shí)施轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵。