Question

對于函數f（x）=x²-2x+k，k∈R，當a+b≤2時，在定義域[a，b]內值域也是[a，b]，則實數k的取值范圍是

[0， 

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)

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Answer 1

分析：根據定義域及函數在[a，b]單調性，求出函數值域，使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]的a與b的值，即可判定k的范圍．

解答：解析：∵f（x）=（x-1）²+k-1又a+b≤2且a＜b則a＜1；
當（ⅰ） b＜1時，f（x）在區間[a，b]上遞減，進而有：

a2-2a+k=b b2-2b+k=a

兩式相減可得：a+b=1于是a，b可看成是方程x²-x+k-1=0兩根，由根的分布規律可知：1＜k＜

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當（ⅱ）b≥1時，則根據題意有：

a=k-1＜1 b=a2-2a+k≥1且b≤2-a

∴-1≤a≤0
進而：0≤k≤1．綜合以上，得到：0≤k＜

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點評：本題主要考查了利用函數單調性來求函數的值域，屬于基礎題．