Question

已知數列{a_n}中，前n項和為S_n，對于任意n≥1時，3S_n=a_n+4
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=2S_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）數列{a_n}中，對于任意n≥1時，3S_n=a_n+4，故當n≥2時，3s_n-1=a_n-1+4，相減并化簡可得a_n=-

1

2

a_n-1，故數列{a_n}是以-

1

2

為公比的等比數列，由此求得數列{a_n}的通項公式．
（2）若數列{b_n}滿足b_n=2S_n =

8

3

[1-(-

1

2

)n]，分n為偶數和n為奇數兩種情況分別求出數列{b_n}的前n項和T_n 的值．

解答：解：（1）數列{a_n}中，前n項和為S_n，對于任意n≥1時，3S_n=a_n+4，故當n≥2時，3s_n-1=a_n-1+4，
相減可得3a_n=a_n-a_n-1，化簡可得 a_n=-

1

2

 a_n-1，故數列{a_n}是以-

1

2

為公比的等比數列．
在3S_n=a_n+4中，令n=1可得 a₁=2，
∴a_n=2q^n-1=（-1）^n-1 2^2-n．
（2）若數列{b_n}滿足b_n=2S_n =2×

2[1-(- 1 2  )n]

1+ 1 2

=

8

3

[1-(-

1

2

)n]
則當n為偶數時，數列{b_n}的前n項和T_n =

8

3

n+[1+

1

2

]+[1-

1

2

]+[1+

1

2

]+[1-

1

2

]…=

8

3

n+

3

2

•

n

2

+

1

2

•

n

2

=

11n

3

．
則當n為奇數時，數列{b_n}的前n項和T_n =(

8

3

)n+[1+

1

2

]+[1-

1

2

]+[1+

1

2

]+[1-

1

2

]…=

8

3

n+

3

2

•

n+1

2

+

1

2

•

n-1

2

=

11n

3

-

1

2

．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式的應用，數列的前n項的和與第n項的關系，由遞推關系求通項，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．