Question

用二項式定理證明：

3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍數（n∈N).

Answer 1

分析：①變為二項式形式；②與64聯系上.

證明：3²ⁿ⁺²-8n-9=9ⁿ⁺¹-8(n+1)-1=(8+1)ⁿ⁺¹-8(n+1)-1=8ⁿ⁺¹+C8ⁿ+C8^n-1+…+C8²++8+

C-8(n+1)-1=8²(8^n-1+C+18^n-2+…+C).

∵括號內每一項都是自然數，和為自然數，

∴上式是64的倍數，即3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍數.

綠色通道:利用二項式定理可以求余數和證明整除性問題，通常需將底數化成兩數的和與差的形式，且這種轉化形式與除數有密切的關系.