Question

設定義在R上的函數f （x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3 ），當x=-時，f （x）取得極大值，并且函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f （x）的表達式；
（2）試在函數f （x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[-1，1]上；
（3）求證：|f （sin x）-f （cos x）|≤（x∈R）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據圖象關于y軸對稱，得其偶函數f（-x）=f（x），求得a=a₂=0，再利用導數研究單調性，列方程求得a₁和a₃，從而求f （x）的表達式；
（2）設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂再利用切線的斜率之積為1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得結果；
（3）因為|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求證：|f （sin x）-f （cos x）|≤（x∈R），只須探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范圍即可，故只要利用導數研究函數f（x）的單調性即可．
解答：解：∵f（x）=4ax³+3a₁x²+2a₂x+a₃為偶函數，∴f（-x）=f（x），
∴-4ax³+3a₁x²-2a₂x+a₃=4ax³+3a₁x²+2a₂x+a₃，
∴4ax³+2a₂x=0對一切x∈R恒成立，
∴a=a₂=0，∴f（x）=a₁x³+a₃x
又當x=-時，f（x）取得極大值
∴解得
∴f（x）=x³-x．
（2）解：設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂（x₁＜x₂），則（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1
又∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴2x₁²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]
∴2x₁²-1，2x₂²-1中有一個為1，一個為-1，
∴或，
∴所求的兩點為（0，0）與（1，-）或（0，0）與（-1，）．
（3）證明：易知sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]．
當0＜x＜時，f（x）＜0；當＜x＜1時，f（x）＞0．
∴f（x）在[0，]為減函數，在[，1]上為增函數，
又f（0）=0，f（）=-，f（1）=-，而f（x）在[-1，1]上為奇函數，
∴f（x）在[-1，1]上最大值為，最小值為-，即|f（x）|≤，
∴|f（sinx）|≤，|f（cosx）|≤，∴|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|≤
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式、不等式的證明、利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．