Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M點的最短路線長為，設這條最短路線與C₁C的交點為N.求

（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；

（2）PC和NC的長；

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的正切值.

Answer 1

解析：①正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為

②將側面BC₁旋轉使其與側面AC₁在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連接MP₁，則MP₁就是由點P沿棱柱側面經過CC₁到點M的最短路線。

設PC＝，則P₁C＝，

在

③連接PP₁，則PP₁就是NMP與平面ABC的交線，作NH于H，又CC₁平面ABC，連結CH，由易證。