Question

已知二次函數f（x）滿足f（-1）=0，且8x≤f（x）≤4（x²+1）對于x∈R恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的表達式；
（3）設，定義域為D，現給出一個數學運算程序：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…x_n=g（x_n-1）
若x_n∈D，則運算繼續下去；若x_n∉D，則運算停止．給出，請你寫出滿足上述條件的
集合D={x₁，x₂，x₃，…，x_n}．

Answer 1

【答案】分析：（1）把1代入8x≤f（x）≤4（x²+1）可得f（1）；
（2）設出f（x）的表達式，由f（-1）=0和f（1），以及ax²+bx+c≥8x，即ax²-4x+c≥0，對x∈R恒成立，求得a、b、c可得f（x）的表達式．
（3）寫出g（x），按運算程序，逐一寫出結果，發現x₅無意義，以后無意義．可得結論．
解答：解：（1）由8x≤f（x）≤4（x²+1），令x=1得8≤f（1）≤8，
∴f（1）=8．
（2）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由（1）及f（-1）=0得⇒b=4，a+c=4．
又ax²+bx+c≥8x，即ax²-4x+c≥0，對x∈R恒成立，
∴，即（a-2）²≤0，
∴a=2，c=2．故f（x）=2（x+1）²．
（3）由g（x）=
由題意x₁=，x₂=g（x₁）=，x₃=g（x₂）=-，x₄=g（x₃）=-1，x₅無意義，故D={，，-，-1}
點評：本題考查一元二次方程根的分布與系數的關系，考查恒成立問題，探究性問題，是難題．