Question

已知直線l在x軸、y軸上的截距分別是a和b（a＞0，b＞0），且經過點M（1，4），則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

分析：寫出直線的截距式方程，代入已知點的坐標，則由a+b=（a+b）•(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

，然后利用基本不等式求最小值．

解答：解：∵直線l在x軸、y軸上的截距分別是a和b（a＞0，b＞0），
∴可設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
∵直線l經過點M（1，4），
∴

1

a

+

4

b

=1．
∴a+b=（a+b）•(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

．
又a＞0，b＞0，
∴a+b=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9 （當且僅當2a=b時取“=”）．
∴a+b的最小值為9．
故答案為：9．

點評：本題考查了直線的截距式方程，考查了利用基本不等式求最值，關鍵是“1”的代換，是基礎題．