Question

【題目】已知數列滿足：，（），數列滿足：，（），數列的前項和為．

（1）求數列的通項公式；

（2）求證：數列是等比數列；

（3）求證：數列是遞增數列；若當且僅當時，取得最小值，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析，的取值范圍是

【解析】

（1）根據已知條件和等差數列的定義，可得是等差數列，即可求通項公式；

（2）由已知的遞推公式結合等比數列的定義，即可求證結論；

（3）求出通項公式，證當時，即可；并且由已知可得，由此求出的取值范圍．

（1）解：（）．

，即，

是等差數列．

設等差數列的公差為．

又，，

，即．

（2）證明：（），

，由（1）得，

于是

．

，，

是以為首項、以為公比的一個等比數列．

（3）證明：由（2）得，

由（1）得，．

于是當時，．

又，．

是遞增數列．

當且僅當時，取得最小值，

．

即，解得．

所求的取值范圍是．