Question

已知點F1、F2分別是

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞o，b＞0）的左、右焦點，A、B是以0（O為坐標原點）為圓心，|OF₁|為半徑的圓與雙曲線左支的兩個交點，且滿足△F₂AB是正三角形，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

  +1
• B、

  13

  2

• C、

  5

• D、

  3

Answer 1

分析：先設F₁F₂=2c，根據△F₂AB是等邊三角形，判斷出∠AF₂F₁=30°，進而在RT△AF₁F₂中求得AF₁和AF₂，進而根據雙曲線的定義列出關于a的方程，用c表示出a，利用雙曲線的離心率公式即可求得．

解答：解：如圖，設F₁F₂=2c，
∵△F₂AB是等邊三角形，
∴∠AF₂F₁=30°，
∴AF₁=c，AF₂=

3

c，
∴a=

3 c-c

2

e=

c

a

=

2c

3 c-c

=

3

+1．
故選A

點評：此題要求學生掌握定義：到兩個定點的距離之差等于|2a|的點所組成的圖形即為雙曲線．考查了數形結合思想、本題凸顯解析幾何的特點：“數研究形，形助數”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑．