Question

已知U={1，2，3，4，5}，A={2，3，5}，B={4，5}，C={x|x²-ax-b=0}（a，b為常數）
（Ⅰ）若C=A∩C_UB，求出實數a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，若已知關于x的實系數一元二次方程（a-3）x²+（b+5）x+k=0兩實根均在區間（0，1）內，試求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據C=A∩C_UB結合一元二次方程根與系數的關系關于a，b 的方程，從而得出a，b的值．
（II）在（I）結論下，設f（x）=（a-3）x²+（b+5）x+k，觀察圖象可知

f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -1 2×2 ＜1 △=1-8k≥0

，解此不等式組可得實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）U={1，2，3，4，5}，B={4，5}，所以C_UB={1，2，3}
∴C=A∩C_UB={2，3，5}∩{1，2，3}={2，3}
因為C={x|x²-ax-b=0}={2，3}，由一元二次方程根與系數的關系，
可得，

2+3=a 2×3=-b

，從而

a=5 b=-6

（Ⅱ）設f（x）=（a-3）x²+（b+5）x+k，由（Ⅰ），

a=5 b=-6

∴f（x）=2x²-x+k，為開口向上的二次函數，
兩實根均在（0，1）內
所以，

f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -1 2×2 ＜1 △=1-8k≥0

解得：0＜k≤

1

8

即當0＜k≤

1

8

時，關于x的實系數方程2x²-x+k=0兩實根均在（0，1）內；

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系和函數與方程思想，函數與方程中蘊涵著豐富的數學思想方法，在解有關函數與方程問題時，應注意數學思想方法的挖掘、提煉、總結，以增強分析問題和解決問題的能力．