Question

如圖，△ABC是形狀為正三角形的一塊地，為了綠化需要現在線段AB上取一點P，在AC上取一點Q，用直線段或折線段或曲線段連接PQ，將△ABC分為面積相等的兩塊地，分別種上兩種花草．
（1）如果用直線段連接PQ，那么當P、Q處于什么位置時，線段PQ的長度最小？
（2）請你設計連接PQ的一種方式，使得連接PQ的長度比（1）中計算的長度更小．

Answer 1

分析：（1）設AP=a，AQ=b，正三角形的邊長為c，根據PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地，可得ab=

1

2

c2，利用基本不等式可求PQ的最小值；
（2）若AP為圓弧，則設AP=a，PQ=

π

3

a，根據PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地，可求弧PQ的長度，比較可得答案．

解答：解：（1）設AP=a，AQ=b，正三角形的邊長為c，則
∵PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地
∴ab=

1

2

c2
∴PQ2=a2+b2-ab≥ab=

1

2

c2
當且僅當a=b=

2

2

c時，PQ取得最小為

2

2

c，此時AP=AQ=

2

2

AB
（2）若AP為圓弧，則設AP=a，PQ=

π

3

a，
∵PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地
∴

1

6

πa2=

3

8

c2
∴a2=

3 3

4π

c2
∴PQ2=

3 π

12

c2＜

1

2

c2
故滿足題意．

點評：本題以實際問題為載體，考查優化設計，考查了基本不等式的運用，考查扇形的弧長及面積公式．