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已知
e1
、
e2
是單位向量，
e1
與
e2
的夾角為
π
3
，
a
=
e1
-2
e2
，
b
=2
e1
+λ
e2
．
（Ⅰ）若λ=-1，求 
a
•
b
及向量
a
與
b
的夾角θ的大�。�
（Ⅱ）λ取何值時，
a
⊥
b
．
分析：（Ⅰ）當λ=-1，可得
a
=
e1
-2
e2
，
b
=2
e1
-
e2
，因為已知
e1
、
e2
是單位向量，且
e1
與
e2
的夾角為
π
3
，所以
e1
•
e2
=
1
2
．|
e1
|=1，|
e2
|=1，代入
a
•
b
，就可求出．再利用數量積公式就可求出向量
a
與
b
的夾角θ的大�。�
（Ⅱ）若
a
⊥
b
，則它們的數量積等于0，先帶著λ求
a
•
b
，再讓
a
•
b
=0，就可得到含λ的方程，解出λ即可．
解答：解：（Ⅰ）　
a
=
e1
-2
e2
，
b
=2
e1
-
e2
，
e1
•
e2
=
1
2

a
•
b
=(
e1
-2
e2
)•(2
e1
-
e2
)=2
e1
•
e1
-5
e1
•
e2
+2
e2
•
e2
=4-
5
2
=
3
2
；
|
a
|2=
a
•
a
=(
e1
-2
e2
)•(
e1
-2
e2
)=
e1
•
e1
-4
e1
•
e2
+4
e2
•
e2
=3，|
a
|=
3
，
同理|
b
|=
3
，cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
3
2
3
×
3
=
1
2
，cosθ=
1
2
；
又θ∈[0，π]，所以θ=
π
3
．
（Ⅱ）由
a
⊥
b
知：
a
•
b
=0，（7分）
a
•
b
=(
e1
-2
e2
)•(2
e1
+λ
e2
)=2
e1
•
e1
+(λ-4)
e1
•
e2
-2λ
e2
•
e2

=2+
1
2
(λ-4)-2λ=-
3
2
λ=0，故λ=0
點評：本題考查了向量的數量積，向量的夾角的求法，做題時要細心．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
e
1，
e
2是夾角為
2π
3
的兩個單位向量，
a
=
e
1-2
e
2，
b
=k
e
1+
e
2，若
a
•
b
=0，則實數k的值為
5
4
5
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•閔行區二模）已知
e
1、
e
2是夾角為
π
2
的兩個單位向量，向量
a
=
e
1-2
e
2，
b
=k
e
1+
e
2，若
a
∥
b
，則實數k的值為
-
1
2
-
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
e1
、
e2
是平面上兩個不共線的單位正交向量，向量
a
=
e1
-
e2
，
b
=m
e1
+2
e2
．若
a
⊥
b
，則實數m=
2
2
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知
e1
、
e2
是單位向量，
e1
與
e2
的夾角為
π
3
，
a
=
e1
-2
e2
，
b
=2
e1
+λ
e2
．
（Ⅰ）若λ=-1，求 
a
•
b
及向量
a
與
b
的夾角θ的大�。�
（Ⅱ）λ取何值時，
a
⊥
b
．

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