Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，且.M是棱SB的中點.

（Ⅰ）求證：面SCD；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出相應點的坐標.

（Ⅰ）求出平面SCD的法向量，根據空間向量數量積的計算公式，結合線面平行的判定定理證明即可；

（Ⅱ）利用空間向量夾角公式直接求解即可；

（Ⅲ）利用空間向量夾角公式求出的表達式，利用配方法求出的最大值.

以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.

（Ⅰ），，.

設平面SCD的法向量是，則，即

令，則，.于是.

，.

又平面SCD，平面SCD.

（Ⅱ）易知平面ASD的法向量為.設平面SCD與平面ASD所成的二面角為，

則，

二面角的余弦值.

（Ⅲ）易知：平面ASB的法向量為

設，則.

.

當，即時，.