Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，CD=2，A₁D⊥平面ABCD，AA₁與底面ABCD所成
角為θ，∠ADC=2θ．
（1）若θ=45°，求直線A₁C與該平行六面體各側面
所成角的最大值；
（2）求平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）找出直線A₁C與該平行六面體各側面所成角，然后利用向量或者利用余弦定理，分別解出即可比較大小．
（2）求平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V的取值范圍，先求底面面積，再求高，根據題意，中θ的取值即可求得體積范圍．
解答：（1）由平行六面體的性質，知
直線A₁C與該平行六面體各側面所成角的大小有兩個，
其一是直線A₁C與側面AA₁D₁D所成角的大小，記為α；
其二是直線A₁C與側面AA₁B₁B所成角的大小，記為β．∵θ=45°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
又∵A₁D⊥平面ABCD，∴CD⊥A₁D∴CD⊥平面AA₁D₁D，
所以，∠CA₁D即為所求．（2分）
所以，α=arctan2（1分）
分別以DA，DC，DA₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，
可求得，側面AA₁B₁B的法向量，
所以，與所在直線的夾角為∴或．
所以，直線A₁C與側面AA₁B₁B所成角的大小為或．（3分）
綜上，直線A₁C與該平行六面體各側面所成角的最大值為arctan2．（1分）
（2）由已知，有DA₁=tanθ，（1分）
由面積公式，可求四邊形ABCD的面積為2sin2θ，（2分）
平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=2sin2θ•tanθ=4sin²θ．（2分）
所以，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V的取值范圍為（0，4）．（2分）
點評：本題考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力，考查線面角，體積最值等知識，是難題．