【題目】已知橢圓
，直線
不過原點
且不平行于坐標軸，與
交于
、
兩點，線段
的中點為
．
（1）證明：直線
的斜率與的斜率的乘積為定值；
（2）若過點
，延長線段與交于點
，四邊形
能否為平行四邊形？若能，求出的方程；若不能，說明理由．
【答案】⑴見解析⑵四邊形OAPB能為平行四邊形，
或
．
【解析】
（1）設直線
(
)，
，
，
，通過直線與橢圓聯立及坐標表示向量即可證得結論；
（2）由⑴得OM的方程為
．設點P的橫坐標為
，通過直線與橢圓聯立解得，根據題意有
，解方程即可得解.
⑴設直線()，，，，
將代入
中，得
，
故
，
，
于是直線OM的斜率
，即
，所以命題得證．
⑵四邊形OAPB能為平行四邊形．
因為直線
過點
，所以不過原點且與C有兩個交點的充要條件是
且
．
由⑴得OM的方程為．設點P的橫坐標為．
由
，得
，即
．
將點的坐標代入直線的方程得
，因此
，
四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即．
于是
，
解得
，
．所以當四邊形OAPB為平行四邊形時，l的方程為
或
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某二手交易市場對某型號的二手汽車的使用年數
（
）與銷售價格
（單位：萬元/輛）進行整理，得到如下的對應數據：
使用年數 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
銷售價格 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
（I）試求關于的回歸直線方程
.
（參考公式：
，
）
（II）已知每輛該型號汽車的收購價格為
萬元，根據（I）中所求的回歸方程，預測為何值時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤
最大？（利潤=銷售價格-收購價格）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某冷飲店的經營狀況，隨機記錄了該店
月的月營業額
（單位：萬元）與月份
的數據，如下表：
|
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|
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|
|
|
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|
|
（1）求關于的回歸直線方程
；
（2）若在這樣本點中任取兩點，求恰有一點在回歸直線上的概率.
附：回歸直線方程中，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f(x)＝|x＋2|＋|x－2|，x∈R，不等式f(x)≤6的解集為M.
（1）求M；
（2）當a2，b2∈M時，證明： 
|a＋b|≤|ab＋3|.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥PD；
（Ⅱ）若PA=4，求二面角E—AF—C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．
（1）求an及Sn；
（2）令bn＝
（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】通常用
、
、
分別表示
的三個內角
、
、
所對的邊長，
表示的外接圓半徑.
（1）如圖，在以
為圓心，半徑為
的圓中，
、
是圓的弦，其中
，
，角是銳角，求弦的長；
（2）在中，若
是鈍角，求證：
；
（3）給定三個正實數、、，其中
，問、、滿足怎樣的關系時，以、為邊長，為外接圓半徑的不存在、存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在存在的情況下，用、、表示.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為進行“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形
的空地上修建一個占地面積為
（平方米）的矩形
健身場地。如圖，點
在
上，點
在
上，且
點在斜邊
上，已知
米，
米，
，設矩形健身場地每平方米的造價為
元，再把矩形以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為
元（
為正的常數）.
（1）試用
表示，并指出如何設計矩形的長和寬，才能使得矩形的面積最大，且求出的最大值；
（2）求總造價
關于面積的函數
，說明如何選取
，使總造價最低（不要求求出最低造價）.
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