Question

已知圓C:，直線:
（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，直線被圓C截得的弦最長(zhǎng)。

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析
（2）點(diǎn)在圓C內(nèi)；
（3）當(dāng)時(shí)，直線被圓C截得的弦最長(zhǎng)．

（1）證明：把直線的方程整理成，
由于的任意性，有，解此方程組，得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，得左邊右邊，
∴點(diǎn)在圓C內(nèi)；
（3）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心C(1，2)時(shí)，被截得的弦最長(zhǎng)(等于圓的直徑長(zhǎng))，
此時(shí)，直線的斜率，
由直線的方程得，由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)得
∴，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，直線被圓C截得的弦最長(zhǎng)．