Question

已知函數f(x)=a-

1

|2x-b|

是偶函數，a為實常數．
（1）求b的值；
（2）當a=1時，是否存在m，n（n＞m＞o）使得函數y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，由f（x）是偶函數可知定義域D關于原點對稱，可求b
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，結合已知n＞m＞0，可知y=f（x）在區間[m，n]上是增函數，從而有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

，求解即可判斷

解答：解：（1）∵f(x)=a-

1

|2x-b|

函數的定義域為{{x|x≠

1

2

b}
∵f（x）是偶函數
故定義域D關于原點對稱，即b=0
（（2）由（1）可知，f（x）=a-

1

2|x|

定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減
∵n＞m＞0，
∴y=f（x）在區間[m，n]上是增函數．
∴有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

即方程1-

1

2x

=x，整理可得2x²-2x+1=0
∵△=4-8＜0
∴不存在正實數m，n，滿足題意

點評：本題主要考查了偶函數的定義的應用，其中定義域關于原點對稱是求解b的關鍵，而函數的單調性的應用是求解（2）的關鍵