Question

如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）AB∥平面DEF，理由如下如圖：
在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中點M，
這時EM∥AD
∴EM⊥平面BCD 過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，，
∴cos∠MNE=．
二面角E﹣DF﹣C的余弦值：．
（3）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE
證明如下：在線段BC上取點P．使BP= BC，過P作PQ⊥CD于Q，
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
 ∴DQ=DC=，
∴tan∠DAQ=
∴=，
∴∠DAQ=30°
在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE．
AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ， ∴AP⊥DE．
此時BP=BC，
∴=．