Question

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：2x²-y²=1。
（1）設F是C的左焦點，M是C右支上一點，若，求點M的坐標；
（2）過C的左焦點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設斜率為k（）的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ。

Answer 1

解：（1）雙曲線C₁：的左焦點F（-），設M（x，y），
則|MF|²=（x+）²+y²，
由M點是右支上的一點，可知x≥，
所以|MF|==2，得x=，
所以M（）。
（2）左頂點A（-），漸近線方程為：y=±x
過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，
所以，解得
所以所求平行四邊形的面積為S=。
（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，因直線PQ與已知圓相切，故，
即b²=k²+1…①，
由，得（2-k²）x²-2bkx-b²-1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）
所以=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²==
由①式可知，故PO⊥OQ。