Question

已知?jiǎng)印袽經(jīng)過點(diǎn)D（-2，0），且與圓C：x²+y²-4x=0外切．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）記半徑最小的圓為⊙M，直線l與⊙M相交于A，B兩點(diǎn)，且⊙M上存在點(diǎn)P，使得（λ≠0）
①求⊙M的方程；
②求直線l的方程及相應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩圓相外切的條件，結(jié)合雙曲線的定義，求出雙曲線的方程．
（2）①M(fèi)D的最小值為c-a=1，且M（-1，0）寫出方程．
②先求出點(diǎn)P坐標(biāo)表達(dá)式，代入⊙M方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，判斷MAPB是菱形，求出AB斜率，及MP的中點(diǎn)，點(diǎn)斜式寫出直線l的方程．
解答：解：（1）圓C半徑R=2，圓心C（2，0），（1分）由題意可得，MC=MD+2，MC-MD=2＜CD=4，（3分）
∴點(diǎn)M的軌跡是以C，D為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，其中2a=2，2c=4，∴a=1，c=2，∴b²=3．（5分）
∴點(diǎn)M的軌跡方程為 ．（6分）
（2）①∵M(jìn)D的最小值為c-a=1，且M（-1，0），∴⊙M的方程為（x+1）²+y²=1．（8分）
②由，把點(diǎn)P（λ，3λ）代入⊙M：（x+1）²+y²=1，
解得，（10分）∴，且．（12分）
∵，且，∴MAPB是菱形． （13分）
∴，∴．
又MP的中點(diǎn)為，∴直線，
即 ．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線和圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．