Question

已知動⊙M經過點D（-2，0），且與圓C：x²+y²-4x=0外切．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）記半徑最小的圓為⊙M₀，直線l與⊙M₀相交于A，B兩點，且⊙M₀上存在點P，使得（λ≠0）
①求⊙M₀的方程；
②求直線l的方程及相應的點P坐標．

Answer 1

解：（1）圓C半徑R=2，圓心C（2，0），由題意可得，MC=MD+2，MC-MD=2＜CD=4，
∴點M的軌跡是以C，D為焦點的雙曲線的左支，其中2a=2，2c=4，∴a=1，c=2，∴b²=3．
∴點M的軌跡方程為．
（2）①∵MD的最小值為c-a=1，且M（-1，0），∴⊙M₀的方程為（x+1）²+y²=1．
②由，把點P（λ，3λ）代入⊙M：（x+1）²+y²=1，
解得，（10分）∴，且．
∵，且，∴M₀APB是菱形． 
∴，∴．
又M₀P的中點為，∴直線，
即．
分析：（1）利用兩圓相外切的條件，結合雙曲線的定義，求出雙曲線的方程．
（2）①MD的最小值為c-a=1，且M（-1，0）寫出方程．
②先求出點P坐標表達式，代入⊙M方程，求出點P的坐標，判斷M₀APB是菱形，求出AB斜率，及M₀P的中點，點斜式寫出直線l的方程．
點評：本題考查軌跡方程的求法，直線和圓位置關系的綜合應用，屬于中檔題．