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已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,點E為CC1中點,點F為BD1中點.
(1)證明EF為BD1與CC1的公垂線;
(2)求點D1到面BDE的距離.
【答案】分析:(1)欲證明EF為BD1與CC1的公垂線,只須證明EF分別與為BD1與CC1垂直即可,可由四邊形EFMC是矩形→EF⊥CC1.由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1
(2)欲求點D1到面BDE的距離,將距離看成是三棱錐的高,利用等體積法:VE-DBD1=VD1-DBE.求解即得.
解答:解:(1)取BD中點M.
連接MC,FM.
∵F為BD1中點,
∴FM∥D1D且FM=D1D.
又ECCC1且EC⊥MC,
∴四邊形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1.又CM⊥面DBD1
∴EF⊥面DBD1
∵BD1?面DBD1.∴EF⊥BD1
故EF為BD1與CC1的公垂線.
(Ⅱ)解:連接ED1,有VE-DBD1=VD1-DBE
由(Ⅰ)知EF⊥面DBD1
設點D1到面BDE的距離為d.

∵AA1=2,AB=1.



故點D1到平面DBE的距離為
點評:本小題主要考查線面關系和四棱柱等基礎知識,考查空間想象能力和推理能力.
練習冊系列答案
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2
2

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(2,2,5)
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2
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(2006•廣州模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,點E為CC1的中點,點F為BD1的中點.
(Ⅰ)證明:EF⊥BD1
(Ⅱ)求四面體D1-BDE的體積.

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