Question

若函數f（x）=

2

3

x3-

x2

2

+(a2-a-3)x．
（1）若f（x）在x=1處的切線方程式y=-2x+3，這樣的a是否存在？若存在，求出a的值，不存在說明理由．
（2）若f（x）在區間[1，3]上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使得f（x）在x=1處的切線方程為y=-2x+3則f′（1）=-2⇒a=0或1，再利用切點為（1，1）可解；
 （2）f（x）在區間[1，3]上單調遞增等價于f′（x）=2x²-x+a²-a-32x²-x+a²-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立，從而轉化為a²-a-3≥（x-2x²）_max，從而得解．

解答：解：（1）設存在實數a，使得f（x）在x=1處的切線方程為y=-2x+3
則f′（1）=-2⇒a=0或1，
當a=0時，f(x)=

2

3

x3-

x2

2

-3x，不過(1，1)
當a=1時，f(x)=

2

3

x3-

x2

2

-3x，不過(1，1)
∴不存在這樣的a．
（2）f′（x）=2x²-x+a²-a-32x²-x+a²-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立?a²-a-3≥x-x²在x∈[1，3]上恒成立?a²-a-3≥（x-2x²）_max，在x∈[1，3]x-2x2=-2(x-

1

4

)2+

1

8

，當x=1時，有最大值-1⇒a²-a-3≥-1⇒a≥2或a≤-1

點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，同時考查了恒成立問題的處理．