Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1處的切線與直線x+3y+1=0垂直，
（I）若x=

2

3

是函數f（x）的極值點，求f（x）的解析式；
（II）若函數f（x）在區間[

3

2

，2]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因為函數f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1處的切線與直線x+3y+1=0垂直，且x=

2

3

是函數f（x）的極值點，就可得到函數在x=1和x=

2

3

處的函數值，代入導函數，就可求出參數a，b的值，得到函數解析式．
（II）先由（I）確定函數的解析式（只含參數b），再將函數f（x）在區間[

3

2

，2]上單調遞增問題轉化為恒成立問題，即f′（x）≥0在區間[

3

2

，2]上恒成立，最后利用參變分離法，通過求最值得參數b的取值范圍

解答：解：（I）f（x）=x³+ax²+bx+2的導數為f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在x=1處的切線與直線x+3y+1=0垂直，∴f（x）在x=1處的切線斜率為3
∴f′（1）=3，即3+2a+b=3  ①
又∵x=

2

3

是函數f（x）的極值點，∴f′（

2

3

）=0．
即

4

3

+

4a

3

+b=0  ②
由①②可得，a=2，b=-4
∴f（x）的解析式為f（x）=x³+2x²-4x+2
（II）若函數f（x）在區間[

3

2

，2]上單調遞增，則f′（x）≥0在區間[

3

2

，2]上恒成立，
由（I）可知，2a+b=0，∴a=-

1

2

b，代入f′（x）=3x²+2ax+b，得f′（x）=3x²-bx+b
∴3x²-bx+b≥0在區間[

3

2

，2]上恒成立．
∴b≤

3x2

x-1

在區間[

3

2

，2]上恒成立
令g（x）=

3x2

x-1

，則g（x）=

3(x-1)2+6(x-1)+3

x-1

=3（x-1）+

3

x-1

+6，
當x∈[

3

2

，2]時，3（x-1）+

3

x-1

+6≥6+6=12，當且僅當x=2時，等號成立
∴當x∈[

3

2

，2]時，g（x）有最小值為12，
∴b≤12

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數極值的關系，導數在解決函數單調性問題中的應用，不等式恒成立問題及其解法