Question

已知函數f（x）=2-sin（2x+

π

6

）-2sin²x，x∈[0，

π

2

]
（1）求函數f（x）的值域；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（

B

2

）=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）函數解析式利用兩角和與差的正弦函數公式及二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據x的范圍求出這個角的范圍，利用余弦函數的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）根據f（

B

2

）=1，以及f（x）解析式求出B的度數，再由b與c的值，利用正弦定理求出sinC的值，進而確定出C的度數，根據三角形的形狀即可確定出a的值．

解答：解：（1）f（x）=2-（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-1+cos2x=1+cos2x-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（2x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
則函數f（x）的值域是[0，

3

2

]；
（2）由f（

B

2

）=1得cos（B+

π

3

）+1=1，即cos（B+

π

3

）=0，
∵B為三角形內角，即0＜B＜π，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4π

3

，
∴B+

π

3

=

π

2

，即B=

π

6

，
∵b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

csinB

b

=

3

2

，
∴C=

π

3

或

2π

3

，
當C=

π

3

時，A=

π

2

，從而利用勾股定理得a=

b2+c2

=2；
當C=

2π

3

時，A=

π

6

，由B=

π

6

，得到a=b=1，
則a的值為2或1．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．