Question

如圖所示，設(shè)計(jì)一個(gè)四棱錐形冷水塔塔頂，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，已知該四棱錐底面邊長(zhǎng)是2m，高是m，
（1）求側(cè)棱與底面所成角；
（2）求制造這個(gè)塔頂需要多少鐵板？

Answer 1

【答案】分析：（1）正四棱錐S-ABCD中，連結(jié)AC和BD交于O，連接SO．可得SO⊥ABCD，∠SAO就是側(cè)棱SA與底面ABCD內(nèi)的所成角．
Rt△SOA中利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出tan∠SAO=，即得側(cè)棱與底面所成角等于arctan；
（2）作SP⊥AB于P，連接OP．Rt△SOP中，算出SP=2（m），可得△SAB的面積S=2（m²）．由此即可得到正四棱錐的側(cè)面積，從而得到制造這個(gè)塔頂需要鐵板的面積．
解答：解：（1）如圖所示，設(shè)正四棱錐S-ABCD中，連結(jié)AC和BD交于O，連接SO．
∵SO⊥ABCD，可得OA是側(cè)棱SA在底面ABCD內(nèi)的射影
∴∠SAO就是側(cè)棱SA與底面ABCD內(nèi)的所成角
Rt△SOA中，SO=m，AO=AB=m
∴tan∠SAO==
因此，∠SAO=arctan，即側(cè)棱與底面所成角等于arctan；
（2）作SP⊥AB于P，連接OP．
∵在Rt△SOP中，SO=（m），OP=BC=1（m），
∴SP==2（m），
則△SAB的面積S=×AB×SP=×2×2=2（m²）．
∴四棱錐的側(cè)面積是4×2=8（m²），
即制造這個(gè)塔頂需要8m²鐵板．
點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱錐，求側(cè)棱與底面所成角，并求制造這個(gè)塔頂需要鐵板的面積．著重考查了正四棱錐的定義與性質(zhì)、直線與平面所成角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．