Question

已知函數f（x）=

1

3

x3-x2．
（1）求f（x）的極值；
（2）已知a∈R，設函數g(x)=

4

3

x3+ax2+(a+1)x的單調遞減區間為B，且B≠∅，函數f（x）的單調遞減區間為A，若B⊆A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數的單調性，從而函數f（x）的極值；
（2）由上題可知，A=（0，2）g'（x）=4x²+2ax+a+1必須有個不等的實數根，其單調遞減區間為兩根之間的區間，
由于B⊆A，即g′（x）的兩根必須在區間（0，2）內部，由二次函數的圖象即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f'（x）=x²-2x=x（x-2）…（2分）
如下表

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

…（4分）
由表知，f （x）的極大值為f （0）=0，f （x）的極小值為f （2）=-

4

3

…（6分）
（ 2 ） 由上題可知，A=（0，2）
由題意可知，g'（x）=4x²+2ax+a+1必須有個不等的實數根，其單調遞減區間為兩根之間的區間，
由于B⊆A，即g′（x）的兩根必須在區間（0，2）內部，由二次函數的圖象可知，

△＞0 0＜- a 4 ＜2 g′(0)≥0 g′(2)≥0

⇒

a＜2-2 2 或a＞2+2 2 -8＜a＜0 a≥-1 a≥- 17 5

⇒-1≤a＜2-2

2

…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，解題的關鍵是明確g'（x）=4x²+2ax+a+1必須有個不等的實數根，其單調遞減區間為兩根之間的區間．