Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于n=1，2，3，…，有a_n+1=

3an+5，an為奇數(shù) an 2k ，其中k是使an+1為奇數(shù)的正整數(shù)，an為偶數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)a₁=19時(shí)，a₂₀₁₄=

98

；
（Ⅱ）若a_n是不為1的奇數(shù)，且a_n為常數(shù)，則a_n=

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}是周期為6的周期數(shù)列，故a₂₀₁₄=a_{4+（6×336）}=a₄；
（Ⅱ）由是不為1的奇數(shù)且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，知a_n=p，利用a_n=a_n+2再由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，能求出p．

解答：解：（Ⅰ）由題知，a₁=19，
a₂=3×19+5=62，
a₃=

62

2

=31
a₄=3×31+5=98，
a₅=

98

2

=49，
a₆=3×49+5=152，
a₇=

152

23

=19，
a₈=3×19+5=62，
∴{a_n}從是周期為6的周期數(shù)列，
∴a₂₀₁₄=a₄=98．
（Ⅱ）a_n是不為1的奇數(shù)且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，
則a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=

an+1

2k

=

3p+5

2k

=p．
∴（3-2^k）p=-5，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴當(dāng)k=2時(shí)，p=5，
當(dāng)k=3時(shí)，p=1舍去． 
故答案為：98，5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}是周期為6的周期數(shù)列，借助數(shù)列的周期性進(jìn)行求解．