Question

（08年銀川一中二模理）（12分）

已知=（0，-2），=（0，2）其中O為坐標原點。直線L: y=-2,動點P到直線L的距離為d,且d=||.

(1)  求動點P的軌跡方程；

(2)  直線m: y=x+1(k>0)與點P的軌跡交于M，N兩點，當時，求直線m的傾斜角α的范圍

(3)  設直線h與點P的軌跡交于C，D兩點，若=-12，那么直線h一定過B點嗎？請說明理由。

Answer 1

解析：(1)由題意知，動點P到直線L距離與到定點B的距離相等。所以P的軌跡是以B為焦點，L為準線的拋物線，其軌跡方程為x²=8y

  (2)由  消去y得  x²-8x-8=0,  設M(x₁,y₁), N(x₂,y₂)    =64k+32>0, k>-,  x₁+x₂=8,  x₁x₂=-8,  y₁+y₂=x₁+1+x₂+1=8k+2,   y₁y₂=(x₁+1)( x₂+1)=1,   =x₁x₂+y₁y₂+2(y₁+y₂)+4=16k+1≥17,   k≥1

      tana≥1   且0≤a<180⁰    所以≤a   所以的傾斜角為{a|≤a}

 (3)設h:y=nx+b,  代入x²=8y中，得x²-8nx-8b=0.  設C(x₃,y₃). D(x₄.y₄).   x₃+x₄=8n,  x₃+x₄=-8b.    x₃x₄+y₃y₄=b²-8b=-12,  得b=2或b=6.此時直線過點（0，2）或（0，6），故直線不一定過B點