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已知x+y=1（x＞0，y＞0），求 $數學公式$ + $數學公式$ 的最小值，請仔細閱讀下列解法，并在填空處回答指定問題：
解析：∵x+y=1，令x=cos²θ，y=sin²θ，
則 $數學公式$ + $數學公式$ = $數學公式$ + $數學公式$ =tan²θ+2cot²θ+3≥3+2 $數學公式$ ．
①指出運用了數學方法；
②指出θ的一個取值范圍；
③指出x、y的取值范圍．

換元法 θ∈（0， $\text{[math]}$ ） x=2 $\text{[math]}$ -1，y=2- $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 取得最小值3+2 $\text{[math]}$ ．
分析：本題考查的知識點是簡單的演繹推理，根據利用基本不等式求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值的解題過程對3個問題逐一判斷即可得到答案．
解答：由于題中：“令x=cos²θ，y=sin²θ”，是利用三角函數中的平方關系進行換元，
故①處填：換元法；
由于換元后要保證x＞0，y＞0，故可考慮θ的一個取值范圍是銳角，
故②處填：θ∈（0， $\text{[math]}$ ）；
考慮到使得：“tan²θ+2cot²θ+3≥3+2 $\text{[math]}$ ”中等號成立，
必須滿足：tanθ=2cotθ，即tanθ= $\text{[math]}$ ，
由三角函數的同角公式得：x=2 $\text{[math]}$ -1，y=2- $\text{[math]}$ ，
故③處填：x=2 $\text{[math]}$ -1，y=2- $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 取得最小值3+2 $\text{[math]}$ ．
故答案為：換元法；θ∈（0， $\text{[math]}$ ）；x=2 $\text{[math]}$ -1，y=2- $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 取得最小值3+2 $\text{[math]}$ ．
點評：演繹推理又稱三段論推理，是由兩個前提和一個結論組成，大前提是一般原理（規律），即抽象得出一般性、統一性的成果；小前提是指個別對象，這是從一般到個別的推理，從這個推理，然后得出結論．又稱從規律到現象的推理．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

21、已知函數y=f（x）的定義域為R，對任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且對任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）試證明：函數y=f（x）是R上的單調減函數；
（2）試證明：函數y=f（x）是奇函數；
（3）試求函數y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x+y=1（x＞0，y＞0），求

的最小值，請仔細閱讀下列解法，并在填空處回答指定問題：
解析：∵x+y=1，令x=cos²θ，y=sin²θ，
則

cos2θ

sin2θ

=tan²θ+2cot²θ+3≥3+2

．
①指出運用了

數學方法；
②指出θ的一個取值范圍

；
③指出x、y的取值范圍

．

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