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已知指數函數y=g(x)滿足:g(2)=4,定義域為R上的函數是奇函數.
(Ⅰ)求y=g(x)與y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)判斷y=f(x)在R上的單調性并用單調性定義證明;
(Ⅲ)若方程f(x)=b在(-∞,0)上有解,試證:-1<3f(b)<0.
【答案】分析:(I)根據指數函數y=g(x)滿足:g(2)=4,即可求出y=g(x)的解析式;由題意知f(0)=0,f(1)=-f(-1),解方程組即可求出m,n的值,即可求出y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)任取x1,x2∈R,且x1<x2,根據指數函數的圖象和性質,判斷f(x1)-f(x2)的符號,進而根據函數單調性的定義可判斷y=f(x)在R上的單調性
(Ⅲ)若方程f(x)=b,可得b∈(0,1),進而可得f(1)<f(b)<f(0),進而得到結論.
解答:解:(I)設g(x)=ax(a>0,a≠1),由g(2)=4得a=2,故g(x)=2x,…(2分)
∵函數=是奇函數
∴f(0)==0
∴n=1;又由f(1)=-f(-1)知=-,解得m=1
∴f(x)=
(II)f(x)= 在(-∞,+∞)上為減函數,理由如下:
設x1,x2∈R,且x1<x2,
,1+>0,1+>0,
∴f(x1)-f(x2)=-=>0
即f(x1)>f(x2
故f(x)= 在(-∞,+∞)上為減函數
證明:(III)若方程f(x)=b在(-∞,0)上有解,
=-1=b在(-∞,0)上有解,
∵此時2x∈(0,1)
-1∈(0,1)
從而b∈(0,1)
由(II)得f(x)= 在(-∞,+∞)上為減函數
∴f(1)<f(b)<f(0).
<f(b)<0
即:-1<3f(b)<0
點評:本題考查的知識點:待定系數法求指數函數的解析式,函數的奇偶性和函數單調性的性質,方程的根與函數零點的關系,是函數問題的簡單綜合應用,難度中檔
練習冊系列答案
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(1)確定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若對任意的t∈[1,3],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求實數k的取值范圍.

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n-g(x)m+2g(x)
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(2)求m,n的值;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(2t-3t2)+f(t2-k)>0恒成立,求實數k的取值范圍.

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