Question

已知函數f(x)，對任意x，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當x＞0時，，
（1）證明：f(x)是奇函數；
（2）求f(x)在R上的解析式。

Answer 1

（1）證明：因為函數f(x)，對任意x，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+ f(y)成立，所以f(0)=0，
令，
則f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數。
（2）解：當x＞0時，；
當x＞0時，-x＜0，，
由f(-x)=-f(x)，得，
所以，。